Binomische Formeln

1. Binomische Formel

\( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

Herleitung der 1. Binomischen Formel

Das Quadrat nach der Klammer bezieht sich auf die ganze Klammer, deswegen lässt sich der Term \( (a+b)^2 \) direkt als Produkt anschreiben:

\( (a+b)^2 = (a+b)\cdot(a+b) \)

Ausmultiplizieren der Klammern und Zusammenfassen liefert direkt die 1. Binomische Formel.
\( (a+b)^2 = (a+b)\cdot(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = \) \( a^2+2ab+b^2 \)

2. Binomische Formel

\( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)

Herleitung der 2. Binomischen Formel

Auch die 2. Binomische Formel lässt sich analog zur 1. Binomischen Formel herleiten.
\( (a-b)^2=a^2-ab-ab+b^2= \) \( a^2-2ab+b^2 \)

3. Binomische Formel

\( (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \)

Herleitung der 3. Binomischen Formel

Die 3. Binomische Formel erfolgt direkt durch Ausmultiplizieren der Klammern.
\( (a+b)\cdot(a-b)=a^2-ab+ab-b^2= \) \( a^2-b^2 \)

Pascalsches Dreieck

Auch Binomische Formeln für höhere Potenzen lassen sich leicht merken. Dazu muss man einerseits wissen, wie sich die Potenzen der einzelnen Variablen verhalten, aber auch die Vorfaktoren vor jedem Term. Hier kommt das Pascalsche Dreieck ins Spiel, welches die Vorfaktoren zu jedem Term angibt.

\( n=0: \phantom{2} \phantom{2} \phantom{2} \phantom{2} 1 \)

\( n=1: \phantom{2}\phantom{2} \phantom{2} 1 \phantom{2} 1 \)

\( n=2: \phantom{2}\phantom{2} \color{blue}1 \phantom{2} \color{red}2 \phantom{2} \color{blue}1 \)

\( n=3: \phantom{2} 1 \phantom{2} \color{green}3 \phantom{2} \color{green}3 \phantom{2} \color{black}1 \)

\( n=4: 1 \phantom{2} 4 \phantom{2} 6 \phantom{2} 4 \phantom{2} 1 \)

Für \( (a+b)^n \) gibt das Pascalsche Dreieck nun die entsprechenden Vorfaktoren für jeden Term an. Bei Erhöhung von n um 1 kommt ein Vorfaktor und damit ein neuer Term hinzu. Das Pascalsche Dreieck lässt sich sehr einfach erstellen. In der ersten Zeile (\( n=0 \)) beginnt man mit einer 1. In der zweiten Zeile (\( n=1 \)) kommt ein Vorfaktor dazu, in diesem Fall wieder eine 1. Dabei ist zu beachten, dass das Pascalsche Dreieck symmetrisch aufgebaut ist und in jeder Zeile an den beiden Rändern (links und rechts) eine 1 steht. In der dritten Zeile (\( n=2 \)) muss nun wieder ein Vorfaktor hinzukommen, so dass nun drei Faktoren vorhanden sind. An den Rändern stehen die zwei 1en, die Zahl in der Mitte ergibt sich aus der Addition der beiden darüber liegenden Zahlen aus der zweiten Zeile (also \( 1+1=2 \)). Auch die vierte Zeile (n=3) lässt sich analog dazu erstellen (hier zur deutlicheren Illustration mit Farben) - zwei 1en an den Rändern, in der Mitte \( \color{blue}1 \color{black}+ \color{red}2 \color{black}= \color{green}3 \) und \( \color{red}2 \color{black}+ \color{blue}1 \color{black}= \color{green}3 \). So lässt sich das Pascalsche Dreieck bis ins Unendliche fortführen.

Nun muss noch auf die Potenzen geachtet werden, was sich am besten anhand eines Beispiels verdeutlichen lässt.
\( (a+b) \color{red}{^3} =a \color{red}{^3} b^0+3a^2b^1 + 3a^1b^2 + a^0b^3 \)
Da \( x^0=1 \) und \( x^1=x \) ist, lässt sich das Ergebnis noch kompakter anschreiben.

\( (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \)

Wie man sieht, beginnt man bei der ersten Variable mit der höchsten Potenz (\( n \)) und bei der zweiten Variable mit der Potenz 0. Nun wird die Potenz der ersten Variable von Term zu Term um 1 gesenkt, die der zweiten Variable um 1 erhöht.

Beispiele

\( (2a+x)^2=(2a)^2+2\cdot(2a)\cdot x + x^2 = \) \( 4a^2 + 4ax + x^2 \)
\( (4u+v^2)\cdot(4u-v^2) = (4u)^2 - (v^2)^2 = \) \( 16u^2 - v^4 \)
\( (2x+y)^3= \) \( (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 + y^3 = \) \( 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \)